数学的神圣之美,数学之美的理解和感悟

展现数学之美的病态函数

试想一个场景：

有一根细线，

它是无限长的，或者说要多长有多长，

这根线，自始至终都是连续的，从左到右不曾间断。

比如这根弧线：

弧线底部的水平直线，就是弧线的切线。

所谓切线，就是恰好与弧线在切点附近，有且仅有切点这一个交点。

有切线的地方，说明弧线在这附近是光滑的，是没有尖刺的。

如果弧线每一点都有切线（可导），说明弧线处处都光滑。

如上图，如果“弧线”变成尖锐的“折线”，那么，“折点”处就有很多根直线与其只有一个交点，从数学上来说，折点的切线的斜率左右极限是不同的，因此这一点也没有“切线”。

即，折点不是光滑的，它是“尖锐的”，曲线在这一点是不可导的。

当然，如果面条在某处断了，在断点处，也是没有切线的，也是“尖锐粗糙的”。

那么，有没有一种既连续、不曾间断，却每一点都尖锐的线呢？

用数学语言描述即：

是否存在处处连续，却处处不可导的函数？

直觉上来说，一根连续曲线的尖锐点至多是可数的，有限的。

因为一根连续的线，再怎么折，尖锐的部分也应该是有限的，而光滑的、平直的部分是占大多数的。

在尖刺的旁边，我们总是应该可以找到哪怕一小段平滑的部分。

在数学发展史上，数学家们也一直猜测：连续的函数必然是近乎可导的（即：起码有一些光滑的部分），所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。连续函数在其定义域中，应该是除去有限个点外都是可导的。

一根线不可能处处都尖锐吧？

1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（集合论大师康托尔的导师）利用函数项级数构造出了一个病态函数，为上述猜测做了一个终结，函数数学描述如下：

这个函数逆天在于，

它处处连续，却又处处不可导

简而言之，它的尖刺折点是如此之多，以至于无论你放多大，在多细微的尺度观察任何一段，函数图像都不会显得更加光滑，它处处都是尖锐的。

这怎么可能？

它的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872在普鲁士科学院出版的一篇论文中，我们现在称它为魏尔斯特拉斯函数。

说它病态，是因为它是一种不可测函数。

你无法用笔画出任何一部分图像的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人将无法知道每一点该朝哪个方向画。

通过计算机逐点描绘，函数图像是这样的：

该反例构造出来后，在数学界引起极大的震动。

因为对于此类病态函数，传统的数学方法已无能为力。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。

随后，这个例子促成了一门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指某图案的局部与整体具有相似性。这种性质又称为“自相似”。

反常的病态函数是极少数特例吗？

分析学的成果表明，尽管它们“反常”，但病态函数事实上不在“少数”，甚至比那些“健康”的函数“多得多”。

例如：

狄利克雷函数——定义在整个连续实数域(-∞, +∞)，却处处不连续；

爆米花函数（Thomae’s function）——处处极限为0，但在任意小区间中，都包含着无数个值不为0的点。

必须要指出，类似魏尔斯特拉斯函数的例子历史上并不是老魏第一个提出的。

在他之前，数学分析严谨化的另一位推动者——捷克数学家波尔查诺，在他1834年撰写但未完成的著作《函数论》中，首次给出了一个处处连续但处处不可导函数的例子，但他并未给出函数的解析表达式，且遗憾的是，他的贡献多半被他的同时代的人所忽视，许多成果若干年后才被发现，但功劳已被抢占或只能与别人分享了。

诺诺心里苦啊！

直觉不一定科学

你看，经过几千年的进化，人类自身还是倾向于相信直觉，“所见即所得”在大多数情况下依然相当有说服力。比如下面这些看起来都像是天然正确、不容置疑的：

• 光线永远是沿直线传播的；

• 任何地方的时间是同步的；

• 只要不断加速，物体的速度是没有限制的。

幸好，我们还有数学。

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